Вопрос в том, какой режим оптимален для прохождения атмосферы. Чтоб вытащить в вакуум как можно больше полезной нагрузки.
Обозначения:
m — текущая масса ракеты;
m0 — конечная масса;
v — текущая вертикальная скорость;
v0 — скорость продуктов сгорания;
rho — плотность воздуха;
Cx — коэффициент аэродинамического сопротивления;
S — площадь сечения ракеты;
g — 9.81.
h — высота (путь).
Первое приближение: Cx не зависит от скорости, плотность атмосферы постоянная и скорость подъёма постоянная.
Вот какие силы действуют на ракету (кроме тяги):
Fc = - Cx * S * rho * v
2 / 2 — сопротивление
Fg = - m * g — вес
Предположим, что v0 очень большая, так что массу можно считать постоянной.
Тогда импульс, расходуемый на прохождение пути dh будет:
dp = dh / v * (Fc + Fg)
dp / dh = (Fc + Fg) / v = Cx * rho * v / 2 + m * g / v
Чем меньше израсходуем тяги на прохождение единичного пути, тем лучше.
Ищем минимум последнего выражения, для этого берём производную:
d/dv(dp / dh) = Cx * rho / 2 - m * g / v
2 Ноль производной, и, соответственно искомый минимум получается при:
Cx * rho / 2 = m * g / v
2 Домножим это на квадрат скорости:
Cx * rho * v
2 / 2 = m * g
Получается, что оптимальна скорость подъёма, это когда сила тяжести равна силе сопротивления.
А тяга, соответственно, равна удвоенному весу ракеты.
Это значит, что при старте надо сначала сильно газануть, чтоб быстро разогнаться до оптимальной скорости, а потом сбавлять тягу и ползти неторопясь.
Так как плотность атмосферы и масса ракеты меняются, соответственно надо подкручивать тягу, чтоб от оптимума далеко не уходить, а на выходе из атмосферы надо будет резко добавлять газу, чтоб угнаться за оптимальн…
Дальше »»»